Gọi O là tâm đáy, từ O kẻ \(OH\perp SC\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\) \(\Rightarrow BD\perp SC\)

\(\Rightarrow SC\perp\left(BDH\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SC\perp BH\\SC\perp DH\end{matrix}\right.\) góc giữa BH và DH là góc \(\alpha\) giữa (SCD) và (SBC)

\(BD=a\sqrt{2}\) ; \(SB=SD=a\sqrt{2}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SBC:

\(BH=\dfrac{SB.BC}{\sqrt{SB^2+BC^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\), tương tự \(DH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow cos\alpha=\left|cos\widehat{BHD}\right|=\left|\dfrac{BH^2+DH^2-BD^2}{2BH.DH}\right|=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\alpha=60^0\)

Chọn D

a/ 

Ta có

\(CB\perp AB\) (ABCD là hình vuông)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CB\)

\(\Rightarrow CB\perp\left(SAB\right)\) => CB=a là khoảng cách từ C đến mp (SAB)

b/ 

Trong mp (SAD) dựng đường thẳng vuông góc với SD cắt SD tại H

Ta có

\(CD\perp AD\) (ABCD là hình vuông)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\)

\(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AH\)

Mà \(AH\perp SD\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SCD\right)\) => AH là khoảng cách từ A đến mp (SCD)

Xét tg vuông SAD có

\(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}\) (Pitago)

Ta có

\(AD^2=DH.SD\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow DH=\dfrac{AD^2}{SD}=\dfrac{a^2}{a\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Xét tg vuông ADH có

\(AH=\sqrt{AD^2-DH^2}\) (Pitago)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

c/ Trong mp (ABCD) Qua O dựng đường thẳng //CD cắt AD tại M và BC tại N => MN//CD (1)

Trong mp (SAD) dựng đường thẳng // AH cắt SD tại Q => MQ // AH

TRong mp (SCD) qua Q dựng đường thẳng //CD cắt SC tại P => QP // CD (2)

Từ (1) và (2) => MN // PQ => M; N; P; Q cùng thuộc 1 mặt phẳng

=> PQ là giao tuyến của mp (MNQP) với mp (SCD)

Trong mp (MNQP) qua O dựng đường thẳng // với MQ cắt QP tại K

Ta có

MQ//AH; OH// MQ => OK//AH

Mà \(AH\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow OK\perp\left(SCD\right)\) => OK là khoảng cách từ O đến mp (SCD)

Xét tứ giác MQKO có

MQ//OK; QP//MN => MQKO là hình bình hành => OK = MQ

Xét tg ACD có

OA=OC (t/c đường chéo hình vuông)

MO//CD

=> MA=MD (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lai)

Xét tg ADH có

MA=MD (cmt); MQ//AH => QD = QH (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lai)

=> MQ là đường trung bình của tg ADH

\(\Rightarrow OK=MQ=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\)

d/

Trong mp (SCD) qua H dựng đường thẳng //CD cắt SC tại E => HE//CD

Ta có

AB // CD (Hai cạnh đối hình vuông)

HE // CD

=> AB//HE => A; B; H; E cùng thuộc một mặt phẳng

Trong mp (AHEB) qua e Dựng đường thẳng // AH cắt AB tại I

Ta có 

AH//IE; AB//HE => AHEB là hình bình hành => IE=AH

Ta có

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\)

\(AB\perp AD\) (ABCD là hình vuông)

=> \(AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp AH\)

Mà AH//IE

\(\Rightarrow AB\perp IE\) (1)

Ta có

\(AH\perp\left(SCD\right)\) (cmt); mà AH//IE \(\Rightarrow IE\perp\left(SCD\right)\Rightarrow IE\perp SC\) (2)

Từ (1) và (2) => IE là khoảng cách giữa AB và SC

\(\Rightarrow IE=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

a: CD vuông góc AD

CD vuông góc SA

=>CD vuông góc (SAD)

=>(SAD) vuông góc (SCD)

b: (SCD) giao (ABCD)=CD

CD vuông góc (SAD)

=>CD vuông góc SD

CD vuông góc SD

AD vuông góc CD

mà SD thuộc (SCD) và AD thuộc (ABCD)

nên ((SCD);(ABCD))=(SD;AD)=góc SDA

tan SDA=SA/AD=căn 3/2

=>góc SDA=41 độ